Un poco de historia

El comienzo del estudio de matrices y determinantes se remonta al segundo siglo A.C., aunque algunos trazos pueden encontrarse en el cuarto siglo A.C .. Sin embargo no es hasta cerca del fin del siglo XVII que estas ideas reaparecen y se desarrollan realmente a partir de ese momento. No es sorprendente que el comienzo del estudio de matrices y determinantes pudo originarse en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Los babilonios estudiaron problemas los cuales inducen a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de ellos son guardados en tablas de arcilla , las cuales existen. Por ejemplo una tabla fechada alrededor de 300 años A.C. contiene el siguiente problema: Hay dos campos cuya área total es de 1.800 yardas cuadradas. Uno produce granos a razón de 2/3 de bushel por yarda cuadrada (1), mientras que el otro produce granos a razón de 112 bushel por yarda cuadrada. Sistema el total producido es 1.100 bushels, ¿Cuál es la medida de cada campo? Los chinos, entre 200 A.C. y 100 A.C., estuvieron mas cerca del concepto de matriz que los babilonios. Verdaderamente es claro decir que el texto Nueve capítulos del arte matemático escrito durante la dinastía de los Han, ofrece el primer ejemplo conocido de métodos sobre matrices. Un primer problema aparece siendo similar al ejemplo babilonio antedicho: Hay tres tipos de granos, de los cuales tres haces del primero, dos del segundo y uno del tercero pesan 39 medidas. Dos del primero, tres de/segundo y uno del tercero suman 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en un haz de cada tipo? Ahora el autor hace algo completamente interesante. El dará los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas como una tabla sobre un "tablero contable".

En nuestro siglo XX el método llega a nosotros escribiendo las ecuaciones lineales como las filas de la matriz más bien que como las columnas, pero la aplicación del método es idéntica. Más interesantemente el autor, escribiendo en el 200 A.C., instruye al lector a multiplicar la columna del medio por 3 y restar la columna de la derecha tantas veces como sea posible, lo mismo ocurre después sustrayendo la columna de la derecha tantas veces como sea posible de 3 veces la primera columna. Esto nos da

Luego la nueva columna de la izquierda es multiplicada por 5 y después la columna del medio es sustraída tantas veces como sea posible. Esto nos da 

 

desde la cual se puede encontrar la solución para el tercer tipo de grano, luego para el segundo, después para el primero por sustitución hacia atrás. Este método, ahora se conoce como eliminación de Gauss ( o gaussiana ), lo cual no fue conocido hasta principios del siglo XIX Cardano, in Ars Magna (1.545) da las reglas para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, el cual lo llamó regula de modo, el que se transformó en ¡la regla madre!. Esta regla madre nos dice que esencial es la regla de Cramer para resolver un sistema 2x2, aunque Cardano no da el paso final. Cardano no alcanza la definición de determinante pero, en una mirada retrospectiva, podemos ver que su método induce a la definición. Algunos resultados estándares sobre la teoría de matrices elementales aparecen largo tiempo antes de las matrices que son objetos de investigaciones matemáticas. Por ejemplo de Witt en Elementos de curvas, publicado como una parte de los comentarios sobre la versión en latín (1.660) de la Geometrfa de Descartes. muestra que una transformación de los ejes reduce a dar una ecuación de una cónica dada ~n su forma canónica. Esto se logra dialogalizando una matriz simétrica pero de Wttt nunca pensó en estos términos. La idea de determinante aparece en Japón y Europa casi exactamente al mismo tiempo aunque Seki en Japón ciertamente publicó primero. En. 1.683 ~eki escribió Método de resolver los problemas disimulados, el cual contiene metodos sobre matrices escritos como tablas exactamente en la forma que los métodos chinos descriptos anteriormente son construidos. Sin tener ninguna palabra que corresponda a "determinante" Seki sin embargo introduce determinantes y dio un método general -- t> para calcularlos basados en ejemplos. Usando sus "determina~te.s" Seki pudo encontrar determinantes de matrices 2x2, 3x3, 4x4 y 5x5 y los aplico para resolver ecuaciones pero no sistemas de ecuaciones lineales. Quizás notablemente la primera aparición de un determinante en Europa es también en el mismo año 1.683. En ese año Leibniz escribió a de L'Hópital. Leibniz explicaba el sistema de ecuaciones: 

tenía una solución porque: 10.21.32 + 11.22.30 + 12.30.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 lo cual es exactamente la condición de que la matriz de los coeficientes tiene determinante O. Nótese que acá no está usando numéricos, pero dos caracteres, el primero marcando en qué ecuación ello ocurre y el segundo que letra representa. En consecuencia 21 denota que podríamos escribir como un a21• Leibniz estuvo convencido que una buena notación matemática sería la llave del progreso aunque él experimentó diferentes caminos de escritura para coeficientes de sistemas con los cuales había trabajado durante un período de 50 años comenzando en 1.678. Solo dos publicar-iones (1.700 y 1.710) contienen resultados sobre coeficientes de sistemas y estos usan la misma notación que en su carta a de L'Hópital mencionada anteriormente. Alrededor de 1.730 Mac Laurin escribió Tratado de álgebra, sin embargo no fue publicado hasta l. 748, dos años después de su muerte. Este contiene los primeros resultados publicados sobre determinantes provenientes de la regla de Cramer para sistemas 2x2 y 3x3 e indicaciones como el caso 4x4 debe ser trabajado. Cramer dio una regla general para sistemas nxn en un trabajo llamado Introducción para el análisis de curvas algebraicas (1.750). El cual originó el deseo de encontrar la ecuación de una curva plana que pase a través de un número de puntos dados. Trabajos sobre determinantes comenzaron a aparecer regularmente a partir de este momento. En 1.764 Bezout dio métodos para calcular determinantes como lo hizo Vandennonde en l. 771. En l. 772 Laplace demandó que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en un trabajo donde estudió las órbitas de los planetas, discutió la solución de sistemas de ecuaciones lineales sin realmente calcularla. Quizás sorprendentemente Laplace usó la palabra "resultante" para lo que llamamos ahora determinantes: sorprendente puesto que es la misma palabra usada por Leibnib sin embargo Laplace debe haber ignorado el trabajo de Leibniz. El término "determinante" fue por primera vez introducido por Gauss en Disquisitiones arithmeticce ( 1.801) mientras discutía sobre formas cuadráticas. Sin embargo el concepto no es el mismo que el de nuestro determinante. En el mismo trabajo Gauss escribe los coeficientes de sus formas cuadráticas en un arreglo rectangular. Describe la multiplicación de matrices (la cual él piensa que es una composición, puesto que aún no se había extendido el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el particular contexto de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas. La eliminación de Gauss, la cual aparece por primera vez en el texto Nueve capítulos del arte matemático escrito 200 A.C., fue usado por Gauss en este trabajo, en el cual estudió la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas tomadas entre 1.803 y 1.809, Gauss obtiene un sistema de 6 ecuaciones lineales en 6 incógnitas. Gauss dio un método sistemático para resolver tales ecuaciones, con las cuales es necesaria la eliminación de Gauss sobre los coeficientes de la matriz.