La determinante

¿Que es?

El determinante de una matriz siempre será un número real, y únicamente se la podremos obtener calculando su matriz cuadrada, aquella que tiene el mismo número de filas y columnas. Para obtener esta determinante debemos restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal y secundaria de la misma matriz. 

Hay que tener en cuenta, las propiedades de una determinante para resolver de forma sencilla.

• El determinante de una matriz siempre es igual al de su matriz traspuesta.
• El determinante de una matriz será siempre cero (nulo) si la matriz contiene dos filas o columnas iguales, si los elementos de una fila o columna son todo ceros o si los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de las demás.
• El determinante del producto de dos matrices será siempre el mismo que el resultado del producto de sus determinantes.
• El determinante cambia de signo si se intercambian dos filas o columnas cualesquiera de una matriz.
• El determinante de una matriz queda multiplicado por un número real si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por ese mismo número.
• El determinante de una matriz no se altera si sumamos a una fila o columna un múltiplo de otra fila o columna.

Métodos para encontrar la determinante 

 SARRUS

La regla de Sarrus es un método que permite calcular rápidamente el determinante de una matriz cuadrada con dimensión de 3×3 o mayor. 

Para aplicar este método y sacar la determinante de una matriz, debemos hacer lo siguiente:

• Cabe resaltar que este método de gauss únicamente se utiliza en una de 3x3. Como ejemplo usaremos esta matriz.

• Para empezar debemos aumentar las filas para poder realizar la multiplicación de los elementos en diagonal, en ese caso tomaremos las dos primeras filas y las agregaremos a la matriz.

• Luego procederemos a realizar las multiplicaciones tanto de la diagonal principal como la diagonal secundaria de la matriz.

• Tenemos que tener en cuenta que cuando terminemos de multiplicar los elementos de diagonal principal, al pasar a la otra diagonal debemos colocar el signo de restar.

Como resultado tenemos que la determinante de la matriz es -217.

Gauss 

La teoría del Método de Gauss, fue creada por Carl Friedrich Gauss, conocido por ser un matemático, astrónomo y físico alemán, que contribuyó en varias áreas de las matemáticas. Muchos lo consideran el matemático más grande de todos los tiempos.

Este Método Sirve para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar un sistema en otro sistema escalonado, es decir, en trabajar directamente con los coeficientes del sistema escritos en un cuadro, nos referimos a una matriz, de forma que cada fila contiene los coeficientes de las incógnitas y del término independiente de cada ecuación.

A continuación, resolveremos el siguiente ejercicio aplicando el método de GAUSS:

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes, realizando la siguiente matriz

Ahora, convertiremos en ceros los números destacados en la matriz anterior

Primera transformación

Paso 1: transformar la segunda fila.

Fila uno multiplicada por -3

-3.(+1 +1 +1 +2)=-3 -3 -3 -6

Le sumo la fila 2.

Paso 2: transformar la tercera fila

Fila uno multiplicada por +2.

+2.(+1 + 1+1 +2 )=+2 +2 +2 +4

Le sumo la fila 3.

 

 Así, la matriz resultante sería:

Segunda transformación

Paso 3: convertiremos en ceros de la segunda columna

Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

La fila uno se mantiene.

 La fila dos se multiplica por 3.

+3.(0 -5 -4 -2)=+0 -15 -12 -6

La fila tres se multiplica por 5.

+5.(0 +3 +4 +6)=0 +15 +20 +30

Paso 4: Sumar la fila dos y tres transformadas.

De esta manera, el sistema resulta:

 

Siendo la solución:

z=24/8=+3

z=+3

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

-5y-4.3=-2

-5y=-2+12

y=+10/-5=-2

 y=-2

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

x+(-2)+3=+2

x=+2-3+2

x=+1

Gauss-Jordan

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Leibniz

En álgebra , la fórmula de Leibniz , nombrada en honor a Gottfried Leibniz , expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Si A es una matriz n × n , donde a i , j es la entrada en la i- ésima fila y la j- ésima columna de A.

EJEMPLO APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS

Esta vez haremos un ejemplo de una matriz 3x3 aplicando el método de leibniz

• Lo primero que tenemos que hacer es colocar unos signos arriba de la matriz en orden +, -, + y tachar o ignorar los números en forma de L invertida, luego en una T y luego una L invertida del lado contrario.

+                        -                       +

[Para obtener, matrices 2x2, cabe recalcar que si la matriz es de 4x4 o mayor, las matrices de 2x2 aumentarian]

• Extraemos las matrices 2x2 que quedaron y estás multiplicando por la columna 1, la primera multiplicando al primer número de la columna 1, más la segunda con el segundo número de la columna, respetando el signo que se le puso arriba de la matriz al inicio.

• multiplicamos las matrices en forma de cruz y restamos sus resultados.

• Resolvemos la ecuación obtenida.

Y así obtenemos la determinante.